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假设检验(1)——假设检验的基本思想


立flag,挖坑

参数估计解决的问题是当我们测量到这些样本的时候,总体的参数是多少,而假设检验解决的问题是,这些估计得到的参数或者分布有多大概率是正确的。 假设检验的应用非常广泛,实验物理数据分析中常常会用到,其他比如医学,生物,社会学等也很常用。 本次内容主要介绍几种常用的(当然是我感觉常用的)假设检验方法,对每种方法的历史做一些介绍,并给出一些定理的证明,同时尽可能的用一些例题来加深一下理解。

假设检验的一些名词解释

根据待检验的类型,假设检验可以分为 参数检验非参数检验。参数检验很好理解,比如说我们已经知道一个年级的学生身高分布是正态分布,我们通过测量一个班的学生的身高, 来检验整个年级学生身高的均值是不是为某个值(比如160cm),这样对某个参数进行的假设检验就是参数检验。而非参数检验需要解决的问题,则是通过对一个班级学生的身高测量, 来确定整个年级的身高分布是不是真的服从高斯分布。

我们先来讲解参数检验,用一般化的语言来描述上面测量身高的例子就是:假设总体$X$的概率分布为$F(x;\theta)$,函数形式已知,但其中的参数$\theta$未知, 我们从一组子样测量值$(x_{1},x_{2},…,x_{n})$来检验未知参数$\theta$是否等于某个指定的值$\theta_{0}$。这样的假设检验便是参数检验。 对于参数检验我们需要一个原假设(Null Hypothesis):

$$H_{0}:\theta = \theta_{0}$$
同时我们还可以有其他假设,与原假设相对,其他假设称为备则假设(Alternative Hypothesis),比如我们可以假设:
$$H_{1}:\theta = \theta_{1}$$
像这样的假设都称为简单假设,原因就是不管我们在原假设还是备则假设,我们所做的假设都只是一个具体的值,$\theta_{0}$或者$\theta_{1}$,实际上在做备则假设时还可以有其他类型, 比如我们可以取:
$$H_{1}:\theta \geq \theta_{1}$$
这时候备则假设并不是一个数值,而是一个集合,这样的假设称为复杂假设。之所以要区分简单假设跟复杂假设,是因为我们后面介绍的假设检验方法跟假设的类型有关。

假设检验的基本原理

假设检验的精髓是构造合适的统计量。

未完待续…..


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